Campionamento di segnali reali
Il teorema del campionamento afferma che per campionare correttamente un segnale, senza che si abbia perdita di informazioni, bisogna usare una frequenza di campionamento (frequenza di Nyquist) pari almeno al doppio della massima frequenza di segnale.
Questa regola è però puramente teorica per due ragioni:
- campionando alla frequenza di Nyquist occorrerebbe un filtro passa-basso ideale (cioè a pendenza infinita) per ricostruire esattamente il segnale;
- i segnali reali non hanno una banda limitata e perciò non è generalmente possibile individuare nel loro spettro una frequenza massima.
Esaminiamo separatamente i due problemi.
Come abbiamo visto nella precedente lezione, per ricostruire fedelmente un segnale campionato occorre un filtro passa-basso in grado di estrarre le componenti spettrali a bassa-frequenza (che corrispondono allo spettro del segnale originale), eliminando completamente le componenti spurie (cioè indesiderate) prodotte dal campionamento.
Se si campiona esattamente alla frequenza di Nyquist (cioè a 2 fmax), la parte di spettro che dev'essere conservata e quella che dev'essere eliminata non sono separate in frequenza e dunque, per dividerle, occorrerebbe un filtro ideale.
Per questa ragione il campionamento non viene mai fatto alla frequenza di Nyquist, ma sempre usando frequenze convenientemente superiori, in modo da aumentare la separazione fra le due parti dello spettro del segnale campionato. In pratica si usa campionare con fcamp pari almeno al quadruplo (o più: cinque o dieci volte sono valori tipici usati in campo industriale) della frequenza massima del segnale. In questo modo, anche usando un filtro reale (non a pendenza infinita), è possibile separare la parte utile dello spettro da quella che deve essere eliminata.
Un altro problema è dovuto al fatto che i segnali reali non hanno una banda limitata. Per esempio un'onda quadra ha uno spettro composto da infinite armoniche e dunque non è possibile individuare in esso una frequenza massima.
I segnali reali hanno generalmente una banda infinita, cioè è infinito l'intervallo di frequenze che contiene tutte le loro armoniche. Tuttavia normalmente l'ampiezza delle armoniche del segnale decresce con la frequenza dell'armonica stessa. Per esempio in un'onda quadra l'ampiezza delle armoniche decresce al crescere dell'ordine n dell'armonica secondo la legge 1/n. In pratica l'ampiezza della quindicesima armonica è 1/15 di quella fondamentale e così via. Questo fenomeno è comune per tutti i segnali di interesse pratico.
Pertanto, pur essendo teoricamente infinita la banda di un segnale reale, è possibile limitare tale banda tenendo in considerazione solo le armoniche significative, cioè quelle aventi una ampiezza non "troppo piccola". Naturalmente dire quali armoniche sono significative e quali no è una questione di scelta. Tuttavia, sempre considerando l'esempio dell'onda quadra, le armoniche superiori alla centesima hanno un'ampiezza inferiore a 1/100 della prima armonica e dunque con tutta probabilità possono essere trascurate senza che ciò comprometta la qualità del segnale.
Supponendo per esempio di avere un'onda quadra con frequenza 50 Hz, se vogliamo considerare solo le prime 100 armoniche, possiamo ritenere che la sua banda arrivi fino a 100 x 50 Hz = 5kHz. Per campionare correttamente tale segnale bisognerà dunque usare una frequenza di campionamento almeno doppia di 5 kHz, cioè almeno pari a 10 kHz.
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