Spettro di un segnale campionato
Consideriamo ora un ipotetico segnale periodico a banda limitata, costituito da 5 righe spettrali con frequenze 100, 200, 300, 400 e 500 Hz. Il periodo del segnale è il reciproco della frequenza della prima armonica (la fondamentale), perciò T = 1/100 = 10 ms
In base al teorema del campionamento di Shannon, per campionare correttamente tale segnale occorre usare una frequenza di campionamento fcamp che sia fcamp > 2 fmax, dove fmax è la massima frequenza delle armoniche del segnale. Nel nostro caso fmax = 500 Hz e dunque la frequenza di campionamento dev'essere pari o superiore a 1000 Hz.
Supponiamo per esempio di scegliere fcamp= 2 kHz. Tale frequenza corrisponde a un periodo di campionamento Tcamp = 0,5 ms, cioè a 20 campioni per ogni periodo del segnale. Nella figura seguente i campioni sono rappresentati dalle righe rosse verticali (idealmente con durata brevissima o zero). Attenzione a non confondere tali impulsi di campionamento con le righe dello spettro, che sono tutt'altra cosa!
E' possibile dimostrare che lo spettro del segnale campionato è formato da una serie di repliche dello spettro del segnale periodico originario. Tali repliche sono centrate intorno a multipli della frequenza di campionamento (cioè nel nostro caso 2 kHz).
La figura seguente mette in evidenza come è fatto lo spettro del segnale campionato. Alle basse frequenze (fino a 500 Hz) esso è identico allo spettro del segnale originario. Intorno alla frequenza di campionamento di 2000 Hz troviamo due repliche dello spettro del segnale originario, una capovolta specularmente (da 1500 a 1900 Hz) e l'altra semplicemente traslata in frequenza (da 1600 a 2500 Hz).
La situazione si ripete identica alle frequenze più alte, in corrispondenza del doppio, triplo eccetera della frequenza di campionamento.
Lo spettro del segnale campionato descritto sopra si riferisce a un campionamento ideale, effettuato cioè usando impulsi di durata tendente a zero (questo tipo di impulsi è detto delta di dirac). In sostanza il ragionamento precedente è rigorosamente valido solo se il segnale da campionare viene "fotografato" in corrispondenza di istanti di tempo ben precisi aventi durata nulla. Nella pratica non è possibile campionare un segnale in questo modo, ma bisogna sempre usare impulsi di campionamento aventi una certa durata. La figura seguente mostra le differenze fra il campionamento ideale e i campionamenti reali di un segnale:
Se gli impulsi di campionamento hanno una durata diversa da zero, lo spettro del segnale campionato cambia rispetto al caso ideale, per il fatto che le diverse repliche dello spettro del segnale originario hanno via via un'ampiezza decrescente all'aumentare della frequenza.
Senza voler entrare nei dettagli matematici della trattazione, in caso di impulsi con durata non nulla lo spettro del segnale campionato assume un andamento di questo tipo:
Per semplicità nel resto della presente trattazione continueremo a far riferimento a un campionamento ideale.
In base allo spettro del segnale campionato, sarà possibile ricostruire perfettamente il segnale originario utilizzando un filtro passa-basso, in grado di filtrare le armoniche fino a 500 Hz (nel nostro esempio), eliminando tutte le armoniche a frequenza superiore (che sono state prodotte dal campionamento).
E' importante sottolineare che la ricostruzione del segnale campionato per mezzo di un filtro passa-basso riveste solo un interesse teorico, dal momento che nella realtà non si è generalmente interessati a riconvertire il segnale campionato nel segnale originario. Infatti il campionamento è solo il primo passo della conversione del segnale analogico in digitale. Dunque il segnale campionato non viene ricostruito, ma piuttosto ulteriormente elaborato in modo tale da essere quantizzato (la seconda fase del processo di conversione AD).
La possibilità di ricostruire il segnale originale a partire dai suoi campioni è invece interessante dal punto di vista teorico in quanto ci consente di dimostrare la validità del Teorema del Campionamento.
Tornando all'esempio precedente, si osservi che, per ricostruire fedelmente lo spettro e il segnale originale, è necessario che il filtro lasci passare tutte le armoniche fino a 500 Hz (frequenza massima dello spettro del segnale originale) ed elimini tutte le armoniche sopra i 1500 Hz. In altre parole, il filtro deve avere una banda passante con guadagno costante fino a fmax (massima frequenza del segnale) e deve avere una banda oscura (con guadagno zero) sopra a fcamp-fmax (2000-1500 = 500 Hz, nel nostro caso).
La condizione precedente può essere verificata solo se fcamp-fmax≥ fmax, cioè se fcamp≥ 2fmax, che è esattamente la condizione espressa dal teorema di Shannon. Facendo sempre riferimento al nostro esempio, supponiamo di campionare il segnale con una fcamp≤ 2fmax: per esempio con fcamp=750 Hz. In questo caso le repliche dello spettro del segnale originale nello spettro del segnale campionato si sovrapporrebbero fra di loro, rendendo impossibile la ricostruzione per mezzo di un filtraggio.
Nella figura precedente le armoniche prodotte dal campionamento a 750 Hz sono indicate in rosso. Si noti che è impossibile separare le armoniche del segnale originario da quelle prodotte dal campionamento per mezzo di un filtro passa-basso.
Dunque il teorema di Shannon è valido poiché, campionando alla frequenza di Nyquist (il doppio della massima frequenza del segnale, non si ha perdita di informazioni, dal momento che è possibile (almeno teoricamente) ricostruire il segnale originale a partire dai suoi campioni per mezzo di un opportuno filtro passa-basso.
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