ELEMANIA
Elettrot. - Resistori in serie e parallelo
Resistori in serie

Consideriamo ora il caso il caso di due resistori collegati in serie e alimentati da una batteria:

Resistenze in serie

Se applichiamo la legge di K. all'unica maglia presente nel circuito otteniamo (essendo E la tensione prodotta dalla batteria):

E = V1 + V2

Ma in base alla legge di Ohm applicata ai due resistori, essendo la corrente I unica per tutto il circuito, abbiamo:

E = R1 . I + R2 . I = (R1 + R2) . I → E = (R1 + R2) . I = Rtot . I

Quest'ultima relazione E = Rtot . I è interessante perché è esattamente la legge di Ohm e ci dice che due resistori collegati in serie sono equivalenti (cioè si comportano allo stesso modo) di un unico resistore Rtot di valore uguale alla somma dei due.

La figura qui sotto mette in evidenza il fatto che in un circuito contenente due resistori in serie è possibile (dal punto di vista dei calcoli) sostituire la serie dei due resistori con un unico resistore equivalente:

Resistore equivalente di resistori in serie

La formula trovata può essere estesa a un numero qualsiasi di resistori in serie:

Rtot = R1 + R2 + R3 + R4 + ....

Vedremo in seguito come questo piccolo "trucco" (ricavato dall'applicazione della legge di K. e della legge di Ohm) può essere utile per studiare circuiti complessi.

Partitore di tensione

L'uso di due resistenze in serie è utile quando si vuole ricavare una tensione più piccola a partire da una più grande. Considerando di nuovo il circuito precedente, supponiamo di avere una batteria E = 10 V e di voler ottenere una tensione di 2 V. Per fare questo basta scegliere per esempio R1= 800 Ω, R2= 200 Ω. Abbiamo infatti:

Itot = E/Rtot = 10/(800+200) = 10 mA

da cui le tensioni ai capi delle due resistenze sono:

V1 = R1 x I tot = 800 x 10m = 8 V

V2 = R2 x I tot = 200 x 10m = 2 V

Come si può osservare la tensione V2 su R2 ha proprio il valore richiesto (2V). Due resistenze in serie sono usate in questo modo, per dividere in due parti una tensione, si dice che formano un partitore di tensione.

Naturalmente è facile verificare che qualsiasi coppia di valori resistivi in rapporto 4:1 avrebbe permesso di ottenere lo stesso risultato. Per esempio R1= 400 Ω, R2= 100 Ω oppure R1= 1 kΩ, R2= 250 Ω o R1= 16 Ω, R2= 4 Ω sarebbero andate ugualmente bene.

In generale è utile conoscere la formula per il calcolo della tensione su una qualsiasi delle due resistenze di un partitore:

In generale, data una serie di n resistenze, la tensione ai capi di una qualsiasi resistenza Rx della serie è data da:

La frazione

è detta rapporto di partizione e indica quanta parte della tensione E cade su Rx. Tale valore è un numero puro, senza unità di misura, compreso fra 0 e 1.

Resistori in parallelo

Consideriamo adesso il seguente circuito contenente due resistori in parallelo:

Resistori in parallelo

Nel disegnare lo schema abbiamo usato la convenzione di segnare un'unica freccia della tensione Vp su un gruppo di componenti in parallelo. Applicando la legge di K. alle correnti nel nodo A del circuito abbiamo:

I = I1 + I2

Usando quindi la legge di Ohm dei due resistori (sottoposti alla stessa tensione Vp = E) possiamo quindi scrivere:

I = E/R1 + E/R2 = E (1/R1 + 1/R2)

da cui invertendo la formula

 

Il risultato trovato significa che due resistori collegati in parallelo fra loro si comportano come un unico resistore equivalente di valore uguale a

Il simbolo del parallelo viene spesso indicato nelle formule con la doppia sbarra (slash) in questo modo:

Rtot = R1 //R2

La formula del parallelo può essere estesa a un numero qualsiasi di resistori in parallelo fra loro:

La formula per il calcolo della resistenza equivalente di due resistori in parallelo viene spesso scritta in modo un po' diverso:

Quest'ultima formula può forse essere più facile da memorizzare rispetto alla precedente, ma ha lo svantaggio di poter essere utilizzata soltanto nel caso di due soli resistori in parallelo.

E' interessante osservare che la resistenza equivalente di un parallelo è sempre più piccola della minore fra le due resistenze. Per esempio con R1= 300 Ω, R2= 700 Ω abbiamo:

Osserviamo che Rp è minore sia di R1= 300 Ω sia di R2= 700 Ω. Riflettendoci sopra questo risultato è ragionevole, poiché il parallelo offre una via più agevole al passaggio della corrente rispetto a una sola delle due resistenze.

Inoltre la corrente in un parallelo si divide in modo tale che la resistenza più grande è percorsa dalla corrente più piccola (si parla in questo caso di partitore di corrente). Per esempio con i valori forniti e supponendo per esempo Vp= 3V abbiamo:

Un caso particolare interessante è anche quello di due resistori uguali in parallelo. In questo caso non è difficile dimostrare che la resistenza del parallelo è uguale alla metà del valore di ciascuno dei resistori:

 

Parallelo con un cortocircuito

E' interessante considerare il caso particolare in cui una delle due resistenze del parallelo sia sostituita da un cortocircuito, come in figura:

Resistore in parallelo con un cortocircuito

Come sappiamo il cortocircuito ha resistenza nulla, cioè R2 = 0 Ω. Applicando dunque al precedente circuito la formula per il calcolo della resistenza equivalente del parallelo, abbiamo:

La formula precedente significa che, se una delle due resistenze del parallelo vale zero, anche la resistenza totale equivalente è zero, indipendentemente dal valore dell'altra resistenza.

Di conseguenza anche la tensione ai capi del parallelo è nulla (Vp = 0 V), qualunque sia il valore della corrente che lo attraversa (per la legge di Ohm infatti una resistenza nulla non può mai avere tensione). Ma se Vp = 0 V, ne consegue anche che I1 = 0 A. Infatti:

I1 = Vp/R1

Pertanto tutta la corrente nel parallelo deve passare nel cortocircuito:

I = I1 + I2 = 0 + I2 = I2

Riflettendoci un istante, il risultato sembra abbastanza ragionevole. Come sappiamo il cortocircuito rappresenta un conduttore ideale per la corrente (infatti la sua resistenza è zero). Pertanto, avendo due strade a disposizione, una con resistenza zero e l'altra con resistenza R1, la corrente percorre ovviamente tutta la strada con resistenza zero (cioè il cortocircuito).

 

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