ELEMANIA
Digitale - Numerazione binaria
Sistema binario

Per ragioni che saranno più chiare nel seguito, i numeri all'interno dei dispositivi digitali non sono rappresentati nella forma usuale a cui siamo abituati. La numerazione che noi usiamo di solito viene detta decimale in quanto si basa sull'uso delle dieci cifre da 0 a 9. La scelta della base 10 non ha nessuna particolare motivazione pratica: deriva dal fatto che abbiamo dieci dita nelle mani per contare. Presso vari popoli sono presenti altri sistemi di numerazione in base 5 e in base 20, anche questi basati sul numero di dita (di una sola mano o di mani e piedi insieme). D'altra parte anche noi usiamo(a volte inconsapevolmente) altre basi numeriche, come per esempio la base sessanta (sessagesimale) utilizzata per le misure di tempo e angolari.

La rappresentazione di un numero decimale utilizza una notazione posizionale, in quanto la posizione di una cifra all'interno di un numero ne stabilisce il valore. Così per esempio nel numero 5605 il primo cinque vale 5000 mentre l'ultimo vale solo 5: il valore è determinato dalla posizione della cifra; le cifre più a sinistra pesano di più di quelle più a destra. Ogni cifra pesa 10 volte di più di quella immediatamente precedente (si tratta di un sistema di numerazione detto appunto in base 10).

sistema posizionale in base 10

La notazione posizionale fu una grande invenzione (probabilmente fu inventato in India e arrivò in Europa attraverso gli arabi) perché semplificò grandemente i calcoli, rispetto ai precedenti numeri romani.

Il sistema binario, usato dai computer e da tutti i dispositivi digitali, utilizza invece solo due cifre 0 e 1. Le cifre binarie vengono dette bit (contrazione di binary digit che in inglese significa appunto cifra binaria).

Anche in questo caso si tratta di un sistema posizionale, solo che il peso di ogni cifra varia secondo le potenze crescenti di 2 (sistema in base 2). La figura seguente mostra per esempio il numero 45 rappresentato in binario:

sistema di numerazione in base 2

Il primo bit (quello più a sinistra) di ogni numero binario viene detto bit più significativo (Most Significant Bit o MSB), mentre il bit più a destra viene detto bit meno significativo (Least Significant Bit o LSB).

Quanti bit ci vogliono per rappresentare un dato numero?

Usando solo due cifre, i numeri in binario sono "più lunghi" (sono formati da più cifre) rispetto ai corrispondenti numeri in base 10. Ciò risulta evidente anche dall'esempio precedente: il numero quarantacinque in decimale richiede solo due cifre (4 e 5), mentre in binario viene rappresentato con 6 bit.

(45)10 = (101101)2

Si osservi la notazione usata per indicare la base in cui è stato scritto il numero. Tale indicazione è indispensabile quando si confrontano numeri in basi diverse poiché altrimenti ci si potrebbe confondere (per esempio 100 può rappresentare sia il numero quattro in binario che il numero cento in base dieci!).

In generale con n bit si possono rappresentare numeri fino a un valore massimo di 2n-1. Per esempio con 3 bit si possono scrivere numeri fino a un massimo di 7. Infatti 23-1 = 8 - 1 = 7.

Si faccia attenzione al fatto che il valore massimo è 7, ma i numeri che è possibile scrivere usando solo 3 bit sono in realtà 8 (cioè 23). Infatti fra questi bisogna contare anche lo zero:

(000)2 = (0)10     (001)2 = (1)10     (020)2 = (2)10     (011)2 = (3)10      (100)2 = (4)10

(101)2 = (5)10     (110)2 = (6)10     (111)2 = (7)10

 

Vantaggi e svantaggi del sistema binario

Uno svantaggio evidente del sistema binario è che, usando solo due cifre, occorrono molte cifre anche per scrivere numeri relativamente piccoli (per esempio per scrivere in binario il numero quindici occorrono ben quattro cifre: 1111).

Un vantaggio è il fatto che, usando solo due cifre, i calcoli diventano più semplici (anche se più lunghi!). Per esempio per fare le moltiplicazioni non occorre imparare a memoria le tabelline, poiché i casi possibili sono solo tre e cioè: 0x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 1 = 1.

Un altro vantaggio, come si vedrà meglio in seguito, è la facilità con cui è possibile realizzare un calcolatore con due sole cifre, per esempio associandole allo stato di un interruttore (On e Off) oppure a due diversi valori di tensione elettrica.

Infine mediante due simboli binari è possibile anche rappresentare due condizioni logiche (vero e falso), cosa anche questa molto importante per la realizzazione di computer programmabili.

 

Byte e multipli

Un gruppo di 8 bit viene detto byte (spesso abbreviato con la B maiuscola). Con un byte si possono scrivere numeri fino a un valore massimo di 28-1 = 256 - 1 = 255. Con un byte è dunque possibile scrivere 256 combinazioni diverse di valori (contando anche lo zero).

Oltre al byte vengono spesso usati i suoi multipli, che hanno i seguenti valori:

Simbolo in Bit in Byte in potenze di 2
1 b (bit) 1 1/8  
1 B (byte) 8 1  
1 KB ( kilobyte) 8.192 1.024 210 byte
1 MB (megabyte) 8.388.608 1.048.576 220 byte
1 GB (gigabyte) 8.589.934.592 1.073.741.824 230 byte
1 TB (terabyte) 8.796.093.302.400 1.099.511.628.000 240 byte

Si osservi che 1 KB non è uguale a 1000 B ma in realtà a 1024 e così di seguito per gli altri multipli. Ciò è dovuto all'uso della base 2 anche nella costruzione dei multipli.

Tuttavia i produttori di dispositivi di memoria (es. hard disk, memorie, chiavette usb etc.) utilizzano spesso invece i multipli decimali, per cui per esempio un disco dichiarato da 1 GB contiene in realtà esattamente 109 Byte, cioè un po' meno degli 1.073.741.824 che corrispondono a 1 GB binario. A volte (ma non sempre) la distinzione viene messa in evidenza dall'abbreviazione usata: i GiB (dovrebbe essere chiamato correttamente gibibyte, ma quasi nessuno lo fa) rappresentano i gigabyte binari (quelli multipli di potenze di 2 e usati dal sistema operativo dei computer), mentre i GB (senza la i) rappresentano i gigabyte decimali (quelli usati dai produttori).

In pratica la capacità di un dispositivo di memoria come viene rilevata dal computer (per esempio al momento di collegare una chiavetta usb) è sempre un po' minore di quella dichiarata dal produttore del dispositivo, a causa delle due diverse unità di misura usate. La formula per trasformare la capacità decimale (GB) in capacità binaria (GiB) in gigabyte è la seguente:

GiB = GB/1.073.741.824

Per esempio un disco rigido da 1 GB ha per il computer una capacità inferiore di circa il 7% rispetto a quella dichiarata dal produttore.

 

 

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