ELEMANIA
Digitale - AND
Tabella di verità dell'operatore AND

Consideriamo il seguente semplice schema elettrico, formato da una batteria, una lampadina e due interruttori:

E' facile vedere che la lampadina U si accende solo se entrambi gli interruttori A e B sono chiusi. Se anche uno solo dei due interruttori è aperto la lampadina rimane spenta. Il funzionamento di questo semplice circuito può essere rappresentato per mezzo di uno schema detto tabella di verità (truth table):

A B U
off off off
off on off
on off off
on on on

Non è difficile leggere la tabella di verità: le colonne A e B rappresentano lo stato degli interruttori (gli ingressi), mentre la colonna U rappresenta lo stato della lampadina (l'uscita). La lampadina è accesa (on) solo se entrambi gli interruttori sono chiusi (on).

Si noti che ci sono quattro righe di valori nella tabella perché le possibili diverse combinazioni degli stati di A e B sono quattro.

Questo tipo di operazione logica si chiama AND in quanto combina fra loro due proposizioni in modo tale che il risultato è vero solo se entrambe sono vere. Questo risulta evidente scrivendo la tabella di verità in un modo leggermente diverso:

Interruttore A chiuso    Interruttore B chiuso    Lampadina U accesa
falso falso falso
falso vero falso
vero falso falso
vero vero vero

Esprimendo la tabella di verità a parole: la lampadina è accesa solo se A è chiuso e (AND) B è chiuso.

In modo più semplice la tabella di verità può essere scritta usando il codice binario: basta associare il valore 0 alla condizione falsa e il valore 1 alla condizione vera, per ottenere il risultato seguente.

A B U
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Quest'ultima scrittura è particolarmente comoda perché la sequenza dei valori di A e di B segue la sequenza della numerazione binaria (da zero a tre).

Espressione logica dell'operatore AND

Oltre che per mezzo della tabella di verità, l'algebra booleana consente di rappresentare l'operatore AND per mezzo di una espressione logica.

Una espressione logica è simile a una espressione matematica, salvo il fatto che le variabili non sono variabili numeriche ma logiche (cioè che possono assumere solo due valori: vero o falso ovvero 0 e 1) e gli operatori non sono operatori matematici ma operatori logici.

Detto questo, l'espressione logica dell'AND assomiglia molto a una normale espressione matematica:

U = A . B

L'espressione precedente si legge così: "U uguale ad A and B". L'espressione logica fornisce le stesse informazioni della tabella di verità ma in forma più sintetica.

Si osservi come il simbolo usato per l'AND, il puntino, sia lo stesso usato in matematica per la moltiplicazione. La somiglianza fra operazione logica AND e operazione matematica moltiplicazione è abbastanza evidente, poiché considerando la moltiplicazione di due cifre binarie '0' e '1' fra di loro, i risultati corrispondono appunto al calcolo dell'operatore AND. Infatti:

0 x 0 = 0    0 x 1 = 0    1 x 0 = 0    1 x 1 = 1

Vedremo meglio nel seguito come l'operatore AND condivida molte (anche se non tutte) delle proprietà dell'operatore matematico moltiplicazione.

 

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