ELEMANIA
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Spettro e risposta in frequenza

La risposta in frequenza di un sistema lineare è stata presentata come uno strumento per determinare la risposta di un sistema lineare nei confronti di segnali di ingresso sinusoidali.

Tuttavia, sfruttando la linearità del sistema e dunque la validità del principio di sovrapposizione degli effetti, è possibile determinare la risposta di un sistema nei confronti di segnali di ingresso costituiti dalla somma di più sinusoidi. Infatti si può pensare di applicare al sistema una sinusoide alla volta, trovare per mezzo della risposta in frequenza la sinusoide di uscita ed infine sommare tutte le sinusoidi così ottenute per determinare la risposta totale del sistema.

Questa osservazione, unitamente col teorema di Fourier, il quale fornisce un metodo per scomporre qualsiasi segnale periodico in una somma di sinusoidi, consente di usare la risposta in frequenza non solo per lo studio dei segnali sinusoidali, ma per qualsiasi segnale di tipo periodico.

Vediamo un esempio di applicazione del metodo considerando il circuito RC passa-basso già precedentemente studiato:

Questa volta però supponiamo di applicare in ingresso un'onda quadra con periodo T=10ms come mostrato in figura:

Osserviamo che Vin è un segnale con valore medio 0,5. Pertanto l'ampiezza, misurata rispetto al valore medio centrale, vale A = 0,5.

Come già sappiamo, le ampiezze dello sviluppo in serie di Fourier del precedente segnale sono:

A0 = A = 0,5 (armonica zero, coincidente col valore medio del segnale)
An = 0 per tutti i valori pari di n
An = 4A/(nπ) = 2/(nπ) per tutti i valori dispari di n

La fase è invece sempre zero per tutte le armoniche. La frequenza fondamentale è f0 = 1/T e vale nel nostro caso 100 Hz.

Lo spettro delle ampiezze dell'onda quadra limitato alle prime 10 armoniche è il seguente:

Il modulo della risposta in frequenza del circuito RC è mostrato in figura:

A questo punto possiamo ricavarci abbastanza semplicemente l'ampiezza delle armoniche del segnale in uscita. Il procedimento è il seguente:

  1. per ogni armonica di Vin si determina la frequenza e l'ampiezza;
  2. si determina il valore del modulo della risposta in frequenza in corrispondenza della stessa frequenza dell'armonica;
  3. si moltiplica tale valore del modulo per l'ampiezza dell'armonica in ingresso, ottenendo in tale modo l'ampiezza dell'armonica in uscita.

Vediamo in pratica come si fa. Considerando l'armonica zero del segnale (quella con frequenza zero), essa, passando attraverso il filtro, viene moltiplicata per uno (modulo del filtro in corrispondenza della frequenza zero) e dunque nell'onda di uscita avremo un'armonica zero con ampiezza uguale a quella del segnale di ingresso.

Per quanto riguarda l'armonica fondamentale a 100 Hz, dal grafico del modulo della risposta in frequenza si può osservare che essa dev'essere moltiplicata per un fattore circa 0,846 (il valore esatto può essere ricavato con un programma di simulazione circuitale oppure attraverso lo studio matematico del circuito):

Dunque la corrispondente armonica in uscita avrà un'ampiezza:

A1u = 0,846 x 2/π = 0,539

Si procede quindi allo stesso modo per le altre armoniche. In figura è mostrato sinteticamente il procedimento per l'armonica 3 e 5:

La tabella seguente sintetizza i risultati ottenuti:

Frequenza Armonica ingresso Modulo Armonica uscita
0 0,500 1,000 0,500
100 0,637 0,846 0,539
300 0,212 0,469 0,099
500 0,127 0,303 0,038
700 0,091 0,222 0,020
900 0,070 0,174 0,012

Lo spettro delle ampiezze del segnale di uscita è mostrato in figura:

A questo punto, sommando fra di loro tutte le sinusoidi che compongono lo spettro del segnale di uscita, è possibile ottenere la forma d'onda della risposta del circuito RC al segnale a onda quadra. Il risultato finale dell'applicazione del metodo è il seguente:

 

Commenti ai risultati ottenuti

Occorre subito chiarire che il risultato precedente è incompleto, in quanto manca lo spettro delle fasi del segnale di uscita. Infatti, le fasi del segnale di ingresso sono tutte zero per tutte le armoniche; tuttavia questo non implica affatto che siano zero anche le fasi del segnale di uscita. Tralasciamo però questa parte della trattazione perché complicherebbe troppo la nostra discussione.

Notiamo anzitutto che lo spettro del segnale di uscita contiene armoniche in numero uguale e nelle stesse posizioni dello spettro del segnale di ingresso. Ciò è una causa naturale del fatto che ogni armonica sinusoidale di ingresso produce una e una sola armonica sinusoidale di uscita:

Una conseguenza di tale fatto è che il segnale di uscita è anch'esso un segnale periodico con la stessa frequenza del segnale di ingresso. Infatti essendo composto dalle stesse armoniche e avendo la stessa frequenza fondamentale dell'ingresso (armonica uno) ne consegue per il teorema di Fourier che si tratta sempre di un segnale periodico isofrequenziale con l'ingresso.

 

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