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Problema di rappresentazione dei valori nei grafici della risposta in frequenza

Come si vedrà meglio in seguito, i valori che devono essere rappresentati sui grafici della risposta in frequenza occupano spesso un intervallo di variazione molto ampio. Ciò è vero in particolare per i valori di frequenza (o di pulsazione) e, in misura minore, per i valori del modulo.

Supponiamo per esempio di voler rappresentare sullo stesso grafico tutti i valori di frequenza compresi fra 0 Hz e 10 kHz. Per fare questo dobbiamo anzitutto fissare una scala. Supponiamo di voler rappresentare con un centimetro la frequenza 10 Hz: in questo caso, per i valori di f dell’ordine di 10 000 Hz occorrerebbe una distanza pari a 1000 cm cioè a ben dieci metri!

Se viceversa scegliamo di usare una distanza di 20 cm per rappresentare il valore 10 000 Hz, il valore 10 Hz si troverebbe a soli 0,2 millimetri dall’origine degli assi! Sembra pertanto impossibile rappresentare su un unico grafico l'intero intervallo di frequenze. La ragione di questa difficoltà risiede nel fatto che i valori di frequenza occupano una banda molto ampia. Tale situazione è estremamente comune, quando si vuole tracciare il grafico della risposta in frequenza di un circuito. Se i valori di frequenza vengono rappresentati per mezzo di distanze proporzionali sull'asse delle ascisse, il risultato che si ottiene è un grafico molto esteso oppure una compressione dei valori più piccoli.

Scala lineare

Una scala per la quale le distanze sono direttamente proporzionali alla grandezza da rappresentare viene detta lineare. La ragione di questo nome sta nel fatto che, per trasformare un valore della grandezza da rappresentare (f nel nostro caso) nel corrispondente valore x sull’asse, si usa una relazione lineare del tipo

x = K x f

dove K è un opportuno coefficiente di proporzionalità. Le unità di misura di K sono determinate dalle unità di misura delle distanze x e dalle unità di misura delle frequenze f: se le distanze vengono misurate in centimetri e le frequenze in hertz, le unità di misura di K sono dunque cm/Hz.

Per esempio se K = 0,01 cm/Hz, ciò significa che al valore di f =100 Hz corrisponde 1 cm sulla nostra scala lineare. Si osservi che, come in ogni relazione di proporzionalità diretta, se raddoppia f, raddoppia anche il valore di x, ovvero, più in generale, se si moltiplica f per un certo fattore, anche x viene moltiplicata per quello stesso fattore. Quando i valori occupano un intervallo molto ampio, usando una scala lineare l'unica soluzione possibile consiste nel tracciare due o più grafici distinti, con coefficienti di proporzionalità diversi, in modo da poter rappresentare sia i valori "piccoli" che i valori "grandi".

Scala logaritmica

Una soluzione alternativa consiste nel modificare la scala usata per rappresentare le frequenze , in modo tale che ad uguali intervalli di frequenza non corrispondano più uguali intervalli sull’asse delle ascisse. Ciò corrisponde ad usare una scala non lineare, cioè una scala per cui le distanze sono legate alla grandezza da rappresentare per mezzo di una relazione non lineare. Una delle scale non lineari più usate è la scala logaritmica.

La relazione che lega x a f in scala logaritmica è del tipo

x = K log(f)

dove log è il logaritmo in base 10 e K è un opportuno coefficiente , che si misura in centimetri o anche in quadretti (se si usa un foglio quadrettato o carta millimetrata).

Se scegliamo per esempio K = 1 cm, in scala logaritmica si avranno le seguenti corrispondenze:

f = 1 Hz → x = K log(f) = 1 = log(1) = 0 cm
f = 10 Hz → x = K log(f) = 1 = log(10) = 1 cm
f = 100 Hz → x = K log(f) = 1 = log(100) = 2 cm
f = 200 Hz → x = K log(f) = 1 = log(200) = 2,3 cm
f = 1000 Hz → x = K log(f) = 1 = log(1000) = 3 cm
f = 0,1 Hz → x = K log(f) = 1 = log(0,1) = - 1 cm

Si noti che:

  1. l’origine dell’asse x = 0 corrisponde a f = 1 Hz;
  2. per le note proprietà del logaritmo, f = 0 Hz corrisponde a x = -, cioè la frequenza zero non viene rappresentata in scala logaritmica. I valori negativi non possono invece essere rappresentati in scala logaritmica;
  3. le frequenze minori di 1 Hz sono rappresentate da valori negativi di x;
  4. uguali distanze sull’asse non corrispondono ad uguali variazioni di f. Per esempio fra 1 cm e 2 cm c’è la stessa distanza esistente fra 2 cm e 3 cm, ma nel primo caso l’intervallo in frequenza è 90 Hz, mentre nel secondo caso è 900 Hz!

 

Decadi

Un intervallo a distanza unitaria sulla scala logaritmica si dice decade (spesso abbreviato in dec): tale distanza corrisponde ad una variazione di un fattore 10 della grandezza rappresentata. Così ad esempio fra i valori 100 e 1000 in scala logaritmica c’è una distanza pari ad una decade, come pure c’è una decade fra il valore 25 ed il valore 250:

Possiamo pertanto osservare che la scala logaritmica espande notevolmente lo spazio assegnato ai valori “piccoli” della grandezza rappresentata, mentre essa comprime in spazi via via più ristretti i valori “grandi”. Grazie a questa proprietà, l’adozione di questo tipo di scala consente di rappresentare sullo stesso grafico valori molto diversi fra loro, consentendo la visualizzazione dei valori elevati senza perdere risoluzione sui valori bassi.

La risoluzione della scala logaritmica decresce infatti all’aumentare dei valori rappresentati. Così per esempio è facile distinguere 0,1 da 1, sebbene la distanza fra i due valori sia solo 0,9. Risulta invece difficile separare 10 000 da 10 100, benché la distanza fra questi due ultimi valori sia 100, cioè molto maggiore della precedente!

Questa proprietà della scala logaritmica potrebbe sembrare eccessivamente penalizzante per i valori elevati. Si osservi tuttavia che di solito ciò che interessa non è la risoluzione in termini assoluti, ma la risoluzione percentuale. Così ad esempio, mentre è utile distinguere fra f = 90 Hz e f = 100 Hz, è probabilmente poco rilevante la differenza fra f = 9990 Hz e f = 10 000 Hz, che pure in termini assoluti è uguale alla precedente.

 

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