La conoscenza dei segnali sinusoidali è fondamentale sia per la matematica che per l'elettrotecnica e le l'elettronica (oltre che per la fisica in generale) e per questo motivo lo studio delle sinusoidi fa parte del bagaglio standard degli studenti delle scuole superiori. Tuttavia raramente nei corsi scolastici ci si sofferma ad approfondire che cosa siano realmente queste sinusoidi e perché siano così importanti.
Lo studio delle sinusoidi e il loro utilizzo nell'analisi dei segnali (in particolare per quanto riguarda la risposta in frequenza e il teorema di Fourier) sarà oggetto di approfondimento nelle successive lezioni. In questa breve introduzione vogliamo cercare di capire cosa sia una sinusoide e quale sia il suo significato, prescindendo dai dettagli matematici e concentrandoci sulla comprensione generale.
Nei corsi scolastici di matematici gli studenti sono abituati a tracciare e a studiare i grafici delle funzioni seno e coseno. La loro forma è universalmente nota:
Tuttavia, benché sia semplice tracciare la forma di una funzione oscillante sulla lavagna e sul quaderno, rimane aperta la questione di cosa sia realmente questa funzione. Infatti non è vero che qualsiasi oscillazioni con qualsiasi forma, comunque sia stata disegnata, sia una sinusoide. Per esempio quella della figura qui sotto, evidentemente, non è una sinusoide:
Altrettanto semplice in apparenza e altrettanto ingannevole è l'uso di una calcolatrice scientifica per calcolare i valori delle funzioni seno e coseno. Premere un tasto è facile (anche se gli studenti spesso fanno confusione fra gradi, gradi centesimali e radianti); molto più difficile è capire attraverso quali procedimenti la calcolatrice sia in grado di effettuare questo calcolo.
Infatti, se per altre funzioni matematiche, pensiamo all'elevamento a potenza o alla radice quadrata, lo studente conosce (almeno a grandi linee) il procedimento di calcolo, le funzioni sinusoidali rimangono un mistero.
In realtà per capire davvero cosa sia una funzione sinusoidale, occorre ripartire dalla sua definizione matematica, ovvero è possibile attribuire alla sinusoide s(t) un semplice significato geometrico, pensando ad un segmento o vettore di lunghezza A (detto anche fasore), in rotazione con velocità angolare ω: s(t) rappresenta, istante per istante, il valore della coordinata y del segmento:
In parole più semplici: per produrre una sinusoide bisogna proiettare su un'asse (y per il seno oppure x per il coseno) un segmento che ruota con velocità costante intorno all'origine. La figura seguente dovrebbe chiarire meglio come viene generata una sinusoide:
Si osservi l'animazione: il segmento ruota con velocità angolare costante e proietta sull'asse y i valori nel tempo della funzione seno.
Un modo per tracciare il grafico di una sinusoide è far oscillare un pennino attaccato a un pendolo su un foglio di carta trascinato con velocità costante:
Affinché la curva disegnata sia una sinusoide perfetta occorre che le oscillazioni siano regolari (non smorzate, sempre con la stessa ampiezza) e che la velocità di movimento del foglio sia costante. Un procedimento simile veniva usato nei sismografi per tracciare le oscillazioni dovute alle scosse sismiche e viene mostrato nella figura seguente:
Al di là delle complessità tecniche e matematiche è importante avere in mente il fatto che la sinusoide viene generata attraverso rotazioni o oscillazioni regolari. Si tratta in realtà di una curva molto semplice e naturale, dotata di una propria bellezza intrinseca.
Possiamo qui solo brevemente accennare all'importanza che hanno le funzioni sinusoidali in matematica e in fisica (maggiori approfondimenti saranno forniti nelle lezioni successive). In realtà non è esagerato affermare che le sinusoidi sono, fra tutte le forme d'onda o curve matematiche, quelle che rivestono un'importanza maggiore.
Uno dei motivi è che le oscillazioni sinusoidali sono alla base di molti fenomeni fisici. Abbiamo già accennato al pendolo, ma anche il suono è fatto di onde sinusoidali e così pure la luce.
In realtà, come vedremo meglio parlando del teorema di Fourier, le sinusoidi sono i "mattoni" fondamentali con i quali è possibile costruire qualsiasi altro segnale. In altre parole, sommando tante sinusoidi è possibile generare qualsiasi segnale con qualunque forma. Potremmo anche dire che tutti i segnali sono in qualche modo "fatti" di sinusoidi. La figura seguente mostra, a titolo di esempio, come sia possibile costruire un'onda quadra partendo dalla somma di infinite sinusoidi:
In elettrotecnica le sinusoidi sono importanti perché i generatori di tensione alternata sinusoidale producono (come suggerisce il nome) una tensione avente la forma di una sinusoide (quasi) perfetta. La stessa tensione di distribuzione di rete (quella comunemente denominata 220V) presente in tutte le nostre case, ha un andamento di tipo sinusoidale.
Uno dei motivi per cui le tensioni sinusoidali sono così diffuse e importanti è il fatto che è abbastanza facile produrre una tensione sinusoidale sfruttando la rotazione di una o più spire all'interno di un campo magnetico. Questo è il principio base sul quale funziona l'alternatore di cui una versione molto semplificata è mostrata in figura:
Si osservi la spira che viene posta in rotazione fra i poli N e S di un magnete esterno e che produce per induzione elettromagnetica (legge di Faraday-Neumann-Lenz) una corrente e una tensione sinusoidale nel circuito esterno. Anche qui si noti come la produzione di una sinusoide è strettamente legata ad una rotazione (in questo caso di una spira) con velocità angolare costante.
I generatori di alternata industriali sono molto più complessi di questo, ma si basano sullo stesso principio: trasformano la rotazione prodotta da una turbina (azionata, a seconda dei casi, da una caduta d'acqua, dal vapore, dal vento o da un altro tipo di un motore) in una tensione avente andamento sinusoidale.
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