In un circuito formato solo da un generatore di tensione costante (es. una batteria) e un condensatore, non passa nessuna corrente. O meglio: passa corrente al momento del collegamento della batteria col condensatore (o della chiusura del tasto). Tale passaggio però si esaurisce in un tempo molto breve (un tempo nullo se i componenti e i fili sono ideali) non appena il condensatore si è caricato alla tensione della batteria.

D'altra parte se si pensa a come è realizzato un condensatore, il fatto che non ci sia passaggio di corrente non è sorprendente: infatti il dielettrico fra le due armature è uno strato di isolante, attraverso il quale la corrente non può passare.

Le cose cambiano se applichiamo al condensatore una tensione variabile nel tempo. In questo caso si osserva sperimentalmente un passaggio di corrente, misurabile con un amperometro. Tale corrente tuttavia non può attraversare il dielettrico (che, come si è detto, è un isolante), ma è dovuta al trasferimento di carica fra le due armature del condensatore attraverso il circuito esterno. Per capire meglio il problema, consideriamo un generatore di tensione variabile collegato ai capi di un condensatore. Immaginiamo di applicare inizialmente, mediante tale generatore, una tensione V_c(t) fra le armature: sulle due armature viene a localizzarsi una carica elettrica, positiva sull’armatura collegata con il + del generatore e negativa sull’altra armatura. Tali cariche elettriche, in base alla legge del condensatore, sono date da

q_c(t) = C ^. V_c(t)

sull'armatura carica positivamente e da

- q_c(t) = C ^. V_c(t)

sull'armatura carica negativamente.

Supponiamo adesso di variare la tensione prodotta dal generatore, applicando al condensatore una tensione V_c(t+Δt) maggiore della precedente V_c(t). Poiché

V_c(t)< V_c(t+Δt)

allora si ha anche che

q_c(t) < qc(t+Δt)

Dunque la carica presente sulle due armature è aumentata. Che cosa è successo? E' accaduto che un certo numero di cariche negative (cioè di elettroni), presenti inizialmente sulla armatura positiva, si sono trasferite sull’armatura negativa. Dopo tale rimescolamento, la carica netta su ciascuna armatura risulta aumentata della stessa quantità e dunque il condensatore resta ancora globalmente neutro:

Come si può osservare, l'aumento della tensione applicata ha causato un passaggio di corrente nel circuito esterno al condensatore. E’ importante ribadire il fatto che la corrente non ha attraversato le armature, ma è passata attraverso il circuito che connette fra di loro le armature stesse. Quando la tensione V_c aumenta (come nell’esempio precedente), gli elettroni passano dalla armatura positiva a quella negativa: ciò significa che nel circuito scorre una corrente dall’armatura negativa a quella positiva . Se invece la tensione V_c diminuisce, la corrente scorre dall’armatura positiva a quella negativa.

 

Abbiamo dunque scoperto che ad ogni variazione della tensione applicata ad un condensatore corrisponde un passaggio di corrente nel circuito. Ma qual è il valore di questa corrente? L’intensità di corrente che passa in un conduttore viene definita come la quantità di carica che attraversa una sezione del conduttore in un certo intervallo di tempo. Indicando con Δq = q(t+Δt) - q(t) tale quantità di carica e con Δt l'intervallo di tempo considerato, l’affermazione precedente può essere espressa matematicamente con:

La precedente equazione può essere considerata come la definizione matematica della intensità di corrente i(t) in un conduttore.

Si osservi con particolare attenzione la presenza del simbolo di “circa uguale”. Infatti la definizione di corrente i è tanto più corretta, quanto più breve è l’intervallo di tempo Δt considerato: con Δt troppo lunghi infatti, la formula fornisce solo un valore medio della intensità di corrente nel conduttore. In teoria il valore di Δt dovrebbe essere scelto uguale a zero, ma ciò non è possibile, poiché in questo caso la formula non potrebbe più essere calcolata (avremmo infatti una divisione per zero).

Nel caso del condensatore, la carica che passa nel circuito è uguale alla carica che è stata trasferita fra le due armature a causa della variazione della tensione applicata. Se all’istante t la tensione ai capi del condensatore è V_c(t) e se all’istante successivo t+Δt tale tensione è diventata V_c(t+Δt), la carica presente sulle armature deve di conseguenza passare dal valore C^.V_c(t), al valore C^.V_c(t+Δt). La variazione di carica (uguale alla carica transitata nel circuito nell’intervallo di tempo Δt) è data da:

Δq = C^.V_c(t+Δt) - C^.V_c(t+Δt) = C ^. (V_c(t+Δt) - V_c(t))

A questo punto siamo in grado di calcolare l’intensità di corrente nel circuito:

 

ovvero in notazione compatta

L’equazione precedente descrive il funzionamento di un condensatore e costituisce dunque un modello matematico del condensatore. Essa consente di calcolare la corrente i nel condensatore a partire dalla tensione vc applicata ai capi del condensatore stesso. Tale formula è dunque analoga alla legge di Ohm I = V/R di un resistore, salvo che quello del resistore è un modello matematico di tipo finito, mentre quello del condensatore è un modello matematico iterativo, in quanto contiene il parametro Δt.

Questo tipo di equazione viene detta iterativa perché, come si vedrà meglio nel seguito, per calcolarne i valori occorre ripetere (iterare) più volte il calcolo della formula. Infatti ogni valore della variabile dipende dal valore precedente della stessa variabile. 

E' interessante osservare che, nel caso particolare in cui V_c è una tensione continua, allora:

V_c(t+Δt) = V_c(t)

indipendentemente dal valore di t e di Δt e dunque i(t) = 0, come già sapevamo.

Si osservi inoltre come l’intensità della corrente in un condensatore non dipenda dalla intensità della tensione applicata ai suoi capi, ma dalla rapidità con la quale tale tensione cambia nel tempo. Infatti i è tanto più elevata quanto più grande è la differenza V_c(t+Δt)-V_c(t) a parità di intervallo di tempo Δt. Ad esempio, affinché in un condensatore circoli una corrente continua, la differenza V_c(t+Δt)-V_c(t) deve essere costante: ciò significa che la tensione sul condensatore deve crescere sempre della stessa quantità in ogni intervallo di tempo Δt. Pertanto, la tensione V_c deve avere l’andamento di una retta crescente. La pendenza di tale retta determina l'intensità della corrente che attraversa il condensatore.

 

La formula ricavata precedentemente

è solo un'approssimazione, tanto più valida quanto più l'intervallo di calcolo Δt è piccolo. Tuttavia facendo tendere Δt a zero (calcolo del limite) è possibile ricavare una formula esatta per il calcolo della corrente nel condensatore:

dove il simbolo indica la derivata della tensione V_C rispetto al tempo t.

In matematica la derivata viene spesso indicata con l'apice (V'_C) ma qui si è preferito usare la notazione "fisica" della derivata, che mette in evidenza la sua origine dl rapporto incrementale.

Il condensatore è dunque un componente in cui la corrente è proporzionale alla derivata della tensione (la costante di proporzionalità è la capacità C del condensatore). Di nuovo possiamo ritrovare il fatto già noto che, se la tensione è costante, la corrente è nulla: infatti la derivata di una funzione costante vale sempre zero.

La legge precedente può anche essere invertita ricavando la seguente relazione (che fa uso dell'operatore integrale, inverso della derivata):

precedente - successiva

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