Consideriamo adesso un condensatore C inizialmente carico con una tensione E diversa da zero. Supponiamo quindi di scaricare il condensatore attraverso un resistore R. Il circuito è quello mostrato in figura (all'istante t=0 il deviatore viene spostato dalla posizione di carica 'a' alla posizione di scarica 'b'):
Come sappiamo dopo la chiusura del deviatore nel circuito comincia a scorrere una corrente, il cui valore può essere ricavato dalla legge del condensatore:
i = C V'c
dove V'c rappresenta la derivata della tensione su C. In realtà la formula calcola la corrente di carica del condensatore (cioè una corrente entrante nel condensatore). Nel nostro caso abbiamo invece a che fare con una corrente di scarica (uscente dal condensatore) per cui la formula esatta contiene anche un segno meno (che rappresenta appunto il verso invertito della corrente):
i = -C V'c
Ma i è anche la corrente che attraversa il resistore R e dunque per la legge di Ohm:
i = VR/R
Ma essendo C e R in parallelo, ne consegue che VR=VC e dunque:
i = VC/R
Uguagliando infine le due espressioni ottenute per la corrente i troviamo:
-C V'c = VC/R
Riordinando e riscrivendo la formula precedente abbiamo subito:
V'c = -1/RC x VC
L'equazione così ricavata è una equazione differenziale, cioè un'equazione in cui l'incognita (nel nostro caso VC o più esattamente VC(t) per indicare esplicitamente il fatto che si tratta di una funzione del tempo) compare sotto l'operatore di derivata. Essa afferma che la derivata della tensione VC è uguale alla tensione stessa moltiplicata per la costante -1/RC.
In matematica la funzione esponenziale et gode della proprietà di essere uguale alla propria derivata e cioè (et)' = et. Applicando le regole della derivata composta non è difficile vedere che una soluzione per la nostra equazione differenziale è data da:
VC(t) = e-t/RC
Infatti:
V'C(t) = (e-t/RC)' = -1/RC x e-t/RC= -1/RC x VC(t)
In realtà quella proposta non è l'unica soluzione possibile. Infatti moltiplicando per una costante K qualsiasi la soluzione trovata si ottengono infinite altre soluzioni possibili, una per ogni valore di K. Infatti:
VC(t) = K e-t/RC → V'C(t) = -1/RC x K e-t/RC = -1/RC x VC(t)
Di tutte le infinite possibili soluzioni a noi però interessa solo quella che all'istante t=0 fornisce una tensione sul condensatore pari a VC(0) = E, dove E è la tensione iniziale di carica del condensatore. Sostituendo dunque t=0 nella soluzione e imponendo l'uguaglianza precedente, possiamo ricavare il valore di K. I passaggi matematici sono i seguenti:
VC(t) = K e-t/RC → VC(0) = K e-0/RC = K
VC(0) = E → K = E
Sostituendo infine il valore di K così ricavato nell'espressione di VC(t) abbiamo:
VC(t) = K e-t/RC = E e-t/RC
Osserviamo che in t=0 la soluzione trovata fornisce effettivamente VC(0) = E. Inoltre se consideriamo il limite per t → ∞ abbiamo:
VC(t→ ∞) = E e-t/RC → 0
La tensione sul condensatore è dunque un'esponenziale decrescente che in t=0 vale E e che tende a zero per t tendente all'infinito. Il grafico risultante è quello noto della scarica del condensatore:
Notiamo che in t = RC = τ abbiamo:
VC(τ) = E e-τ/RC = E e-RC/RC = E e-1 = E x 0,37
Abbiamo così ritrovato il fatto già noto che, dopo che è trascorso un tempo pari alla costante di tempo τ, il condensatore si è scaricato al 37% circa della tensione iniziale E.
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