Qui di seguito elenchiamo una serie di teoremi, assiomi e proprietà dell'algebra booleana. Alcuni sono evidenti di per sé e non saranno discussi, altri richiedono invece qualche spiegazione in più.

1. Proprietà commutativa rispetto alla somma logica
   x + y = y + x
   
   
2. Proprietà commutativa rispetto al prodotto logico
   x ^. y = y ^. x
   
   
3. Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma logica
   x ^. (y + z) = x ^. y + x ^. z
   
   
4. Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto logico
   x + (y ^. z) = ( x + y ) ^. ( x + z )
   
   Questa proprietà non ha un equivalente nell'algebra ordinaria. Si può dimostrare sostituendo al posto di x, y e z a sinistra e destra dell'uguale tutti i valori possibili e verificando che l'uguaglianza vale in tutti i casi (in totale 8). Per esempio:
   0 + 0 ^. 0 = 0 esattamente come  ( 0 + 0 ) ^. ( 0 + 0 ) = 0
   
   
5. Assiomi dell'annullamento
   x ^. 0 = 0        x + 1 = 1
   
   In altre parole: qualsiasi valore in and con 0 fornisce sempre 0; qualsiasi valore in or con 1 fornisce sempre 1.
   
   
6. Assiomi del completamento
   x ^. x = 0        x + x = 1
   
   
7. Assiomi dell'idempotenza
   x ^. x = x        x + x = x
   
   Si osservi che nessuno di questi due assiomi ha un equivalente nell'algebra ordinaria.
   
   
8. Assioma della doppia negazione (la doppia negazione si annulla)
   _
   -
   x = x
   
   
9. Assioma della negazione
   x = y → x = y
   
   Il simbolo della freccia → significa implicazione. Cioè, se la prima relazione è vera ne consegue che è vera anche la seconda.
   
   
10. Teorema dell'assorbimento 1
    x + x ^. y = x
    
    Questo teorema si può facilmente dimostrare applicando prima la proprietà distributiva (all'inverso) del prodotto rispetto alla somma e quindi l'assioma dell'annullamento:
    x + x ^. y = x ^. (1 + y) = x . 1 = x
    
    
11. Teorema dell'assorbimento 2
    x + x ^. y =  x + y     o anche    x + x ^. y =  x + y
    
    Infatti per la proprietà distributiva e per l'assioma dell'annullamento abbiamo:
    x + x ^. y = (x + x) ^. (x + y) = x + y
    
    
12. Teoremi di De Morgan
    x + y = x ^. y
    x ^. y = x + y
    
    Questi due teoremi sono particolarmente interessanti in quanto consentono di scambiare gli operatori AND e OR all'interno di un'espressione logica, come vedremo meglio in seguito.

precedente - successiva

Sito realizzato in base al template offerto da

http://www.graphixmania.it

Segui @ElePrograMania