La distinzione fra seno e coseno può invece aver senso quando si devono confrontare fra loro due o più segnali sinusoidali. Si consideri per esempio la situazione in figura:
Come si vede non è possibile (e non ha neppure senso) stabilire quale dei due segnali sia un seno e quale sia un coseno. Possiamo tuttavia decidere, in maniera del tutto arbitraria, di rappresentare s1(t) con la funzione matematica "seno":
s1(t) = A sen(ω.t)
In questo caso, osservando in figura che, in corrispondenza dei passaggi crescenti di s1(t) per lo zero, s2(t) raggiunge i valori massimi, possiamo concludere che s2(t) deve essere rappresentato con la funzione matematica "coseno":
s2(t) = A cos(ω.t)
Si noti che la corrispondenza fra s2(t) e la funzione "coseno" risulta obbligatoria solo dal momento che si è deciso arbitrariamente di rappresentare s1(t) con la funzione "seno". Scegliendo, in modo altrettanto arbitrario, di far corrispondere a s1(t) la funzione "coseno"
s1(t) = A cos(ω.t)
potremmo osservare dalla figura che, quando s1(t) raggiunge i valori massimi, s2(t) passa per lo zero in modo decrescente. Dunque, scegliendo di rappresentare s1(t) con un coseno, s2(t) deve essere rappresentato con un "seno invertito", cioè con
s2(t) = - A sen(ω.t)
E' anche possibile rappresentare tutte le sinusoidi per mezzo della stessa funzione trigonometrica (per esempio la funzione "seno"), utilizzando, per distinguere un segnale dall'altro, l'angolo di fase φ (detto anche sfasamento). La fase φ è un parametro di un segnale sinusoidale che si misura in radianti e che rappresenta la traslazione di una sinusoide rispetto a un'altra.
Per stabilire la fase occorre anzitutto scegliere arbitrariamente una delle sinusoidi come riferimento di fase. Di solito, come si vedrà meglio nel seguito, in un circuito la sinusoide di riferimento con fase zero è la sinusoide di ingresso (quella che viene fornita al circuito). A tale sinusoide per convenzione viene attribuita una fase nulla (φ = 0). Per esempio, considerando sempre la figura precedente
supponiamo di fissare s1(t) come riferimento di fase e di voler rappresentare tutte le sinusoidi con la funzione trigonometrica "seno". Dunque
s1(t) = A sen(ω.t)
La seconda sinusoide s2 può essere in generale scritta così:
s2(t) = A sen(ω.t + φ)
Abbiamo già osservato che s2(t) risulta traslata rispetto a s1(t) in modo tale che, quando s1(t) passa per lo zero crescendo, s2(t) raggiunge un massimo. In precedenza abbiamo visto come questa traslazione possa essere rappresentata esprimendo s2(t) con la funzione "coseno". E' però anche possibile esprimere s2(t) per mezzo della funzione "seno", a condizione di introdurre un angolo di fase. Infatti possiamo scrivere
s2(t) = A sen(ω.t + π/2)
Il valore +π/2 radianti rappresenta lo sfasamento della sinusoide s2(t) rispetto alla sinusoide s1(t) (riferimento di fase). Non è difficile verificare con una normale calcolatrice, assegnando liberamente dei valori ai parametri della sinusoide, che i due modi per rappresentare s2(t) forniscono gli stessi risultati, ovvero che
A sen(ω.t + π/2) = A cos(ω.t)
E' possibile visualizzare geometricamente il concetto di sfasamento fra due sinusoidi isofrequenziali pensando a due fasori in rotazione con la stessa velocità angolare ω. La fase φ rappresenta l'angolo (costante) formato fra i due vettori:
Il lettore interessato potrà approfondire autonomamente il caso di sfasamento fra sinusoidi con frequenze e pulsazioni diverse (non isofrequenziali). Questo caso non viene trattato in questa sede in quanto, come sarà più chiaro nel seguito, nello studio dei filtri siamo interessati solo a sinusoidi tutte con la stessa identica frequenza.
La relazione
A sen(ω.t + π/2) = A cos(ω.t)
può anche essere espressa affermando che la funzione "coseno" risulta sfasata in anticipo di π/2 radianti rispetto alla funzione "seno". Analogamente si può osservare che la funzione "seno" risulta sfasata in ritardo di π/2 radianti rispetto alla funzione "coseno".
Non bisogna però attribuire alle espressioni "in ritardo" e "in anticipo" il significato di una successione temporale. Infatti "seno" e "coseno" sono due funzioni periodiche che si ripetono sempre uguali da t = -∞ a t = +∞ e non ha senso affermare che una delle due "anticipa" (cioè "arriva prima") rispetto all'altra. Conviene invece pensare che "in anticipo" significa semplicemente "angolo di fase positivo" e "in ritardo" significa "angolo di fase negativo".
In generale valori della fase risultano compresi fra -π rad e +π rad perché se si supera il valore +π (o il valore -π) si ottengono nuovamente gli stessi angoli.
E' interessante osservare che i valori +π e -π rad rappresentano in realtà lo stesso angolo . Pertanto possiamo scrivere che
A sen(ω.t +
π) = A sen(ω.t
- π)
A cos(ω.t +
π) = A cos(ω.t -
π)
Quando tra due sinusoidi c'è uno sfasamento di ±π rad, si dice che le due sinusoidi sono in opposizione di fase. La ragione del nome è dovuta al fatto che
A sen(ω.t ±
π) = - A sen(ω.t)
A cos(ω.t ±
π) = - A cos(ω.t)
cioè lo sfasamento ±π rad corrisponde ad invertire il segno del segnale sinusoidale. In figura sono mostrati i grafici di due sinusoidi in opposizione di fase:
La fase fornisce una misura angolare della "distanza" fra due sinusoidi. In molti casi risulta utile trasformare tale misura angolare in un tempo. Ciò può essere fatto abbastanza semplicemente riscrivendo l'espressione analitica della generica sinusoide in questo modo:
s(t) = A sen(ω.t + φ) = A sen( ω.(t + φ/ω) )
Dalla formula precedente risulta che la traslazione in fase φ corrisponde a una traslazione nel tempo φ/ω. Per esempio se due sinusoidi entrambe con pulsazione ω = 628 rad/s (cioè un periodo T=2π/ω=10ms) hanno una differenza di fase di φ = 0,5 rad, la loro distanza sull'asse t risulta:
Dt = φ/ω = 0,5/628 = 0,8 ms
Un altro semplice modo per ricavare la relazione fra fase e traslazione nel tempo consiste nello scrivere la seguente proporzione (dove T è il periodo dell'onda sinusoidale):
φ : 2π = Dt : T
da cui è possibile ricavare Dt se è noto φ o viceversa.
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